جلسه 3 ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک کوانتمی بیان. d 1. i=0. i=0. λ 2 i v i v i.

Transcript

1 محاسبات کوانتمی (671) ترم بهار مدرس: سلمان ابوالفتح بیگی نویسنده: محمد جواد داوري جلسه 3 می شود. ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک کوانتمی بیان اگر f : R R و A : H H هرمیتی و به صورت زیر باشد: A = λ v v =0 آنگاه تعریف می کنیم: f(a) := f(λ ) v v. =0 مثال: اگر f(x) = x آنگاه f(a) = λ v v =0 و داریم A = ( λ v v ).( λ v v ) =,j =0 =0 λ λ j v v v j v j = λ v v = f(a). در حالت کلی براي هر چند جمله اي P (x) = x n داریم P (A) = A n. توجه کنید که مقادیر ویژه f(a) برابر با ) f(λ هستند که λ ها مقادیر ویژه هاي A هستند. 1

2 1 اصول مکانیک کوانتمی 1.1 اصل اول - فضاي حالات اصل اول: به هر سیستم فیزیکی یک فضاي هیلبرت متناظر است. حالت 1 سیستم (در هر لحظه از زمان) با یک بردار ناصفر در فضاي هیلبرت مشخص می شود. دو بردار که ضریبی از یکدیگر باشند یک حالت فیزیکی را بیان می کنند. بنابراین حالت سیستم را می توان با یک بردار به طول یک (بردار واحد) مشخص کرد. فضاي هیلبرت فضاي برداري است که داراي ضرب داخلی باشد و نسبت به نرمی که ضرب داخلی آن القاء می کند کامل باشد. توجه کنید که فضاهاي ضرب داخلی با بعد متناهی همواره کامل هستند. مثال: کیوبیت یک سیستم کوانتمی است که فضاي هیلبرت H متناظر آن دو بعدي باشد. اگر پایه ي متعامد یکه ي { 1, 0 } را براي این فضا در نظر بگیریم آنگاه داریم: ψ H, ψ = a 0 + b 1 a, b C ψ = 1 a + b = 1 1 مثالی است از حالتی که یک کیوبیت می تواند داشته باشد. از آنجا که این بردار ضریبی بردار یکه ي 1 1 است این دو بردار یک حالت سیستم را نشان می دهند. تفاوت این دو بردار یکه ضریب 0 1 از بردار یکه ي ( کلی با نرم یک 3 است و لذا به عنوان حالات کوانتمی یکسان هستند. توجه کنید که این دو با حالت 1 متفاوت هستند چون ضریبی از یکدیگر نیستند. یک سیستم فیزیکی که بعد فضاي هیلبرت متناظر آن d باشد dm(h) = d یک کیودیت 4 نامیده می شود. فضاي برداري متناظر با یک کیودیت با پایه ي متعامد یکه ي زیر نمایش داده می شود:.1 اصل دوم - تحول زمانی { 0, 1,..., d 1 }. اصل دوم: تحول زمانی یک سیستم «بسته» با یک عملگر یکانی که روي فضاي هیلبرت عمل می کند بیان می شود. یعنی اگر حالت سیستم در زمان ψ t 0 باشد و در زمان ψ t 1 باشد آنگاه U : H H یکانی وجود دارد که ψ U.U ψ = مستقل از ψ و ψ است و فقط به t 0 و t 1 بستگی دارد. 1 State Qubt 3 Global phase 4 Qudt

3 این اصل در واقع فرمول بندي دیگري از معادله ي شرودینگر است. این معادله تحول زمانی یک سیستم کوانتمی را به d ψ(t) = H ψ(t), dt صورت زیر بیان می کند: که در آن H : H H یک عملگر هرمیتی است که به آن همیلتونی گفته می شود. اگر H مستقل از زمان باشد جواب این معادله ي دیفرانسل به صورت زیر است: ψ(t) = e t H ψ(0). حال اگر قرار دهیم U = e t H, (1) آنگاه U ψ(0). ψ(t) = ادعا می کنیم که U یکانی است یعنی UU.U U = I = بسط تیلور تابع e x را در نظر بگیرید: e x = n x n که در آن اعدادي حقیقی هستند. U = ( t ) n H n U = = n [ n ( t H ) n ] [( t H ) n ] و در نتیجه = n = n = n [ ( t H ) ] n ( t H ) n ( t H ) n = e t H. همچنین با استفاده از بسط تیلور تابع e x به راحتی قابل بررسی است که براي دو عمگلر نرمال A و B که AB = BA آنگاه AB = BA e A e B = e A+B. با استفاده از این رابطه داریم 3

4 U U = e t H.e t H = e ( t H t H) = e 0 = I به همین ترتیب UU = I و در نتیجه U یکانی است. در حالت کلی تر وقتی که همیلتونی H مستقل از زمان نیست نیز می توان نشان داد که (0)ψ و ψ(t) با یک عملگر یکانی به هم تبدیل می شوند. برعکس براي هر U یکانی همیلتونی H وجود دارد به طوري که (1) برقرار باشد. بنابراین اصل دوم که تحول زمانی سیستم هاي کوانتمی را با عملگرهاي یکانی بیان می کند در واقع فرمول بندي دیگري از معادله ي شرودینگر است. X = مثال: تحول زمانی یک کیوبیت با ماتریس هاي یکانی بیان می شود. ( ) ( ) , Z = X(a 0 + b 1 ) = a 1 + b 0, X = X, X X = X = I.,X Z هر دو هم یکانی و هم هرمیتی هستند: Z(a 0 + b 1 ) = a 0 b 1, Z = Z, Z Z = Z = I.,X Z را ماتریس هاي پاولی 5 می گویند. مثال دیگري از عملگر یکانی ماتریس هادامارد 6 است. H = 1 ( ) 1 1, 1 1 H = H, H H = H = I توجه کنید که داریم H XH = Z که نتیجه می دهد مقادیر ویژه ي X و Z یکی هستند. در واقع Z در پایه ي استاندارد 5 Paul matrces 6 Hadamard matrx { + := 1 ( ), := 1 ( 0 1 )}, { 1, 0 } قطري است و بردارهاي ویژه ي X برابرند با و داریم + = H 0. H 1 = 4

5 3.1 اصل سوم - اندازه گیري اصل سوم: اندازه گیري بر روي یک سیستم با فضاي هیلبرت H با مجموعه اي به صورت {M : M : H H, S} M M = I. S (Completeness) مشخص می شود که : در این صورت به Mها عملگرهاي اندازه گیري 7 می گویند. با انجام این اندازه گیري اگر حالت سیستم ψ H باشد حاصل اندازه گیري با «احتمال» ψ p() = ψ M M برابر S می شود. اگر حاصل اندازه گیري S باشد حالت سیستم به ψ = M ψ ψ M M ψ «تغییر» 8 می کند. توجه کنید که p() یک توزیع احتمال است: 1. p() نامنفی است چون برابر با نرم بردار ψ M به توان دو است.. جمع ( p(ها یک است که از M M = I نتیجه می شود. M 0 = 0 0, M 1 = 1 1. مثال: (اندازه گیري یک کیوبیت) قرار دهید در این صورت M = M و M 0 M 0 = M 0 = = 0 0 = M 0 M 0 M 0 + M 1 M 1 = = I, و همچنین. M 1 M 1 = M 1 در نتیجه 7 Measurement operators 8 Collapse 5

6 و } 1 {M 0, M یک اندازه گیري است. براي b 1 ψ = a 0 + داریم p(0) = ψ M 0 M 0 ψ = ψ 0 0 ψ = ψ 0 = a, p(1) = b. حال اگر حاصل اندازه گیري 0 باشد حالت سیستم به صورت زیر تغییر می کند: M 0 ψ = 0 0 (a 0 + b 1 ) = a 0 0 و اگر حاصل اندازه گیري 1 باشد سیستم به 1 تغییر پیدا می کند. مثال: (اندازه گیري در یک پایه ي متعامد یکه) اگر dm H = d و } d 1 { v 0, v 1,, v یک پایه ي متعامد یکه M M = v v = I. باشد براي M = v v داریم: پس } d 1 {M 0,..., M یک اندازه گیري است. اگر ψ = a v آنگاه p() = ψ M M ψ = a. به این اندازه گیري اندازه گیري در پایه ي متعامد یکه ي } d 1 { v 0, v 1,, v می گویند. مثال: براي بردارهاي + و که در بالا تعریف شدند قرار دهید M 0 = + 0, M 1 = 1. M 0 = 0 + M 0 M 0 = = 0 0, و به همین ترتیب 1 1 = 1.M 1 M پس.M 0 M 0 + M 1 M 1 = I p(0) = ψ M M ψ = 0 + = a p(1) = b اگر حاصل اندازه گیري 0 باشد تغییر حالت به صورت زیر خواهد بود: M 0 ψ = + 0 (a 0 + b 1 ) = a + +. مثال: (اندازه گیري تصویري ( 9 فرض کنید عملگرهاي {S : P} همگی تصویر عمود باشند یعنی P = P, P = P, 9 Projectve measurement 6

7 و داشته باشیم P = I. در این صورت {S : P} یک اندازه گیري است زیرا P P = P = P = I. به چنین اندازه گیري اي اندازه گیري تصویري می گویند. اندازه گیري در یک پایه ي متعامد یکه حالت خاصی از اندازه گیري تصویري است. توجه کنید که در یک اندازه گیري تصویري براي j می توان نشان داد = 0 j P. P در واقع اگر برد P 10 را با W نشان دهیم آنگاه H = S W افراز فضا به زیرفضاهاي عمود بر هم است. مثال: یک کمیت 11 فیزیکی با یک عملگر هرمیتی روي فضاي هیلبرت مشخص می شود: A : H H, A = A. مثلا همیلتونی عملگر متناظر با کمیت انرژي است. از آنجا که A هرمیتی است در یک پایه ي متعامد یکه قطري می شود. در واقع اگر λها R مقادیر ویژه ي W A زیر فضاي تولید شده توسط بردارهاي ویژه متناظر با مقدار ویژه ي λ باشند و P را عملگر تصویر عمود بر روي این زیر فضا بگیریم آنگاه A = λ P, و از آنجا که بردارهاي ویژه ي A کل H را می پوشانند داریم P = I. پس می توانیم اندازه گیري تصویري } P} را در نظر بگیریم. اگر حالت ψ را با } P} اندازه گیري کنیم و حاصل اندازه گیري باشد آنگاه می گوییم مقدار کمیت A برابر λ است. در این صورت متوسط (امید ریاضی) این کمیت که با A نمایش داده می شود برابر است با A = λ p() = λ ψ P ψ ( ) = ψ λ P ψ = ψ A ψ. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ 1 10 Image 11 Observable 1 Hesenberg uncertanty prncple 7

8 براي کمیت هاي,A B داریم ( A).( B) 1 [A, B], که در آن ( A) := A A, [A, B] := AB BA. براي جزییات بیشتر به صفحه 89 کتاب مرجع مراجعه کنید. 4.1 اصل چهارم - سیستم هاي ترکیبی اصل چهارم: فضاي هیلبرت متناظر با یک سیستم فیزیکی که متشکل از n سیستم کوچکتر 13 است از ضرب تانسوري فضاهاي کوچک تر بدست می آید. به عبارت دیگر اگر فضاي هیلبرت متناظر با سیستم -ام H باشد فضاي هیلبرت متناظر با کل n سیستم برابر است با H 1 H H n. اگر سیستم -ام در حالت ψ H باشد کل سیستم در حالت n ψ 1 ψ ψ است. 13 Subsystem 8